基础知识
逆矩阵
方阵 $A$ 的逆矩阵：
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$$
其中，$|A|$ 为 $A$ 的行列式，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。
行列式
方阵 $A$ 的行列式：
$$|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \newline a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =\sum_k(-1)^ka_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$$
其中，$k_1, k_2, \cdots, k_n$ 是将序列 $1, 2, \cdots, n$ 的元素次序交换 $k$ 次所得到的一个序列。
此外，也可通过如下递归关系求取方阵 $A$ 的行列式：
$$|A| = \sum_{j = 1}^n ( - 1)^{j + 1} \cdot M_{1j} a_{1j}$$
其中 $M_{1j}$ 为方阵 $A$ 的元素 $a_{1j}$ 的余子式。上式将 $n$ 阶方阵的行列式求解化为 $n$ 个 $(n - 1)$ 阶方阵的行列式的求解，借此可逐级递归降阶直至 $1$ 阶行列式的求解，$1$ 阶行列式的值即为该行列式唯一元素之本身，再逐级递归升阶直至原 $n$ 阶行列式即得所求。
伴随矩阵
方阵 $A$ 的伴随矩阵为：
$$A^*=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \newline A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$$
其中，$A_{ij}$ 为矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。
代数余子式
在 $n$ 阶行列式 $A$ 中任意选定的 $k$ 行 $k$ 列元素，其中在行列交点上的元素按原顺序排列组成的 $k$ 阶行列式，称为行列式 $A$ 的 $k$ 阶子式 $D$ 。
在 $n$ 阶行列式 $A$ 中划去任意选定的 $k$ 行 $k$ 列元素后，余下的元素按原顺序排列组成的 $n-k$ 阶行列式，称为行列式 $A$ 的 $k$ 阶子式 $D$ 的余子式 $M$ 。
如果所选定的行列在行列式 $A$ 中的行列序号分别为 $i_1, i_2, \cdots, i_k$ 和 $j_1, j_2, \cdots, j_k$ ，则行列式 $A$ 的 $k$ 阶子式 $D$ 的代数余子式为
$$(-1)^{(i_1+i_2+\cdots+i_k)+(j_1+j_2+\cdots+j_k)}\cdot M$$
如果选定的是单个元素，如行列式 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 的代数余子式为
$$( - 1)^{i + j} \cdot M_{ij} = ( - 1)^{i + j} \cdot \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, j - 1} & a_{1, j + 1} & \cdots & a_{1n} \newline
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, j - 1} & a_{2, j + 1} & \cdots & a_{2n} \newline
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline
a_{i - 1, 1} & a_{i - 1, 2} & \cdots & a_{i - 1, j - 1} & a_{i - 1, j + 1} & \cdots & a_{i - 1, n} \newline
a_{i + 1, 1} & a_{i + 1, 2} & \cdots & a_{i + 1, j - 1} & a_{i + 1, j + 1} & \cdots & a_{i + 1, n} \newline
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n, j - 1} & a_{n, j +1} & \cdots & a_{nn} \newline
\end{vmatrix}$$
上式中，$(n - 1)$ 阶行列式 $M_{ij}$ 即为行列式 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 的余子式。
二阶矩阵的逆
对于二阶矩阵 $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \newline a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ ：
$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$ ，
$A_{11} = (-1)^{(1+1)}\cdot a_{22}=a_{22}$ ，
$A_{12}=(-1)^{(1+2)}\cdot a_{21}=-a_{21}$ ，
$A_{21}=(-1)^{(2+1)}\cdot a_{12}=-a_{12}$ ，
$A_{22}=(-1)^{(2+2)}\cdot a_{11}=a_{11}$ ，
则其伴随矩阵为
$$A^*=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} \newline A_{12} & A_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \newline -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}$$
其逆矩阵为
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot A^*=\frac{1}{a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}}\cdot\begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \newline -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}$$
